[美]丹·罗斯坦、鲁兹·桑塔纳著，中国青年出版社2013年8月出版

　　教学案例任课教师：吉米·弗雷克（科罗拉多州鹰岩中学和职业发展中心）

　　所学科目：数学

　　课堂人数：25名学生

　　问题焦点：不同的数学问题

　　使用问题形成技巧的目的：像数学家一样提问

　　在美国科罗拉多州鹰岩中学和职业发展中心，吉米·弗雷克的学生们正要使用他们自己的问题来参与一项雄心勃勃的实验。学生们住在一家提供全额奖学金的小型寄宿学校里，他们有着相似的经历：在传统学术体系上成绩惨淡，也没期望能够高中毕业。上弗雷克数学课的学生已经习惯于回答一系列的问题，等待老师的下一步问题。弗雷克希望学生把回答问题变成对答案进行提问。改变传统的师生关系氛围可不是轻而易举的任务。他将给这组学生一个艰巨的任务，让他们进行从未做过的“像数学家一样思考”。

　　开始时，弗雷克先让学生解决一个相关问题，他非常肯定大多数学生都能解决或者最少能理解解题方案。过了一会儿，他请一位学生自愿来讲解他的解题方案并解释这个方案为什么是正确的。这一点并没有超出常规的内容，可是弗雷克要求学生根据他们刚刚得出的答案来提一个新问题，而之前问题的答案此时则变成了一个问题焦点。

　　学生们生成问题的过程中，弗雷克充当记录员，把问题写在黑板上。然后每个学生选择一个来进一步研究，当学生们完成数学问题时，他们又展示了解题方案，并重复这个过程。

　　弗雷克在第一周的课程中继续着这样的练习，然后他和学生一起仔细规划这些问题，向学生展示了在相对较短的时间内他们提出了多少问题。学生看到图中间一个圆圈里是第一个问题，由此发散出很多箭头，指向很多小圆圈，里面是新问题，那些小圆圈里也包含问题的简短答案。

　　学生很快便开始使用这个流程了：回答一个问题，产生一些新问题，回答那些新问题，并和全班同学分享他们的成果，然后选择问题作为新问题焦点从而产生更多的问题。这个流程能帮助学生从不同角度深度分析和探讨数学问题。有一个学期，学生们正在解决一道经典数学题：摔坏的鸡蛋。这让学生们进一步思考整体性。问题如下：

　　农妇正要带着鸡蛋去市场出售，她的马车撞上了路上的深坑，马车撞翻了，鸡蛋都摔破了，所以她就去找保险理赔员。保险理赔员问她一共有多少个鸡蛋，农妇说她不知道，但是她记得摆放鸡蛋的方法，当她把鸡蛋按照2个一组， 3个一组， 4个一组， 5个一组， 6个一组进行摆放时， 还剩一个鸡蛋，可是当她把鸡蛋摆为7个一组就正好了。

　　从这些信息里，农妇能得出鸡蛋的数量吗？答案是唯一的吗？

　　有几个学生问了关于分鸡蛋的不同方法。一个学生问： “如果每组都有6个鸡蛋，一共有多少个呢？（意思为鸡蛋数量能否被6整除）”而其他学生则在分析复杂的鸡蛋分组情况。另一个学生想知道：“如果每组7个鸡蛋，一共有多少个呢？”然后一个学生注意到了一个更大的问题：除法规则是什么？弗雷克注意到这个女孩，她记得有一种一个数字被另一个数字整除时使用的方法，但是却不记得规则的内容了。但是，前面同学提出的问题让她获得了对除法的新理解，她意识到，如果能使用除法的话会更容易解决问题。

　　弗雷克常常使用学生提出的这些问题，或者选择合适的时间教授更为传统的课程，课程包括数学家提的问题。弗雷克利用教学资源来提出、展示问题。举例来说，比如数学家在尝试解决问题时，如何通过更改、限制或放宽问题的特征来改变问题。

　　他的数学课拓展了学生的理解能力。学生的思想变得更灵活，问题解决得更好。此时弗雷克汇报说：学生通过一次他的关于使用表格来整理信息的课程提出了问题。“怀着找到一种模式的希望，学生分组用表格推测摔坏鸡蛋的数量，只有一个素数符合要求，其他的则不行。这个推测终止于一个定理，中国的一个余数定理。”现在，学生们就像弗雷克期望的那样，“像数学家一样思考。”

　　这门课程持续了五周，获得提问权的学生爆发出的能量常常令弗雷克感到震撼：“学生们倾向于选择他们感兴趣的问题的变体，选择加上兴趣，神奇地增强了学生们对课堂任务的兴趣和专注，这也成为了一次有力的差异化学习练习。”他还震惊于这种差异化学习练习策略的效果， 注意到“自信的学生倾向于提出、选择具有挑战性的问题，不太自信的学生则倾向于提出、选择由简单的起始问题变化而来的问题。所有的方法都给课堂增加了集体知识”。

　　弗雷克的课堂确实很有活力，这不是他第一次看到这种现象了。他曾经使用不同的技巧来吸引学生的注意力， 但是让学生们自己提问却很不一样，这已经成为了一种经常为学生积累能量的方法论，而不是一次性的特别课程。

　　他仔细观察，却对于从其他老师那里听到他们对那些积极投入和精力十足的学生给予的肯定感到惊喜。弗雷克的同事告诉他，他们听到弗雷克的学生在旅行和用餐时也一直在讨论具体的数学问题以及在课上学到的东西。当学生通过提问来获得力量时，弗雷克觉得他作为老师的责任转变了：“我的工作从试图激发学生能量，到管理学生的能量，甚至中断学生们的学习，让他们停下来听取同学的意见，让学生提问对我的改变是毋庸置疑的。”